在1927年以前，对测量精度的唯一限制似乎只有人类的智力水平。但后来，维尔纳海森堡（WernerHeisenberg）发现，量子力学对一些一起进行的测量设定了精度限制。例如，对于一个粒子，你越确定它的位置，就越难以确定它的动量。可以说，海森堡的测不准原理，终结了我们大家都认为世界完全可知的梦想。

　　20世纪80年代，物理学家逐渐从量子力学的不确定性中瞥见了一线希望。他们发现，量子力学不仅不会阻碍测量，反而能够在一定程度上帮助测量——量子计量学就是在此基础上发展起来的。2019年，研究人员利用一项名为量子挤压的技术，将激光干涉引力波天文台（LIGO）探测器的灵敏度提高了40%。还有的小组利用了量子纠缠现象来精确测量弱磁场。

　　但是，在利用量子力学提高测量精度的策略中，最具争议和反直觉的当属“后选择”（postselection）。在这种方法中，研究人员获取携带着某个系统信息的光子，并过滤掉其中一些，经过滤后的光子再进入探测器。过去15年中，使用了后选择的实验对距离和角度进行了极其精确的测量，这表明丢弃一些光子在某一些程度上是有益的。

　　现在，加拿大多伦多大学的诺厄卢普-格拉德斯坦（NoahLupu-Gladstein）和合作者确定了后选择测量的优势来源。在一篇被《物理评论快报》接收的论文中，他们将这一优势追溯到测不准原理给计算带来的负值。讽刺的是，这回测不准原理帮忙提高了测量的精度。

　　在量子力学中，粒子的运动方程并不能描述它的准确位置或具体速度。相反，方程给出的是可能观察到的粒子位置的概率分布，以及粒子动量可能值的另一个概率分布。但正如此前提到的，测不准原理阻止了我们对位置和动量一起进行精确测量。这在某种程度上预示着我们不能像在经典概率论中那样，将两个概率分布相乘，得到代表位置和动量不同组合的可能性的“联合概率分布”。相反，量子概率以一种更复杂的方式来进行组合。

　　美国物理学家约翰柯克伍德（JohnKirkwood）和英国物理学家保罗狄拉克（PaulDirac）分别在1933年和1945年独立推导出了同一种方法，通过打破概率必须是正数的规则，来定义量子属性不同组合的概率。在柯克伍德-狄拉克的“拟概率”分布中，某些属性的组合发生的概率可能是负数。

　　2020年，剑桥大学的戴维阿维德森-舒库尔（DavidArvidsson-Shukur）、目前任职于美国马里兰大学的妮科尔云格哈尔彭（NicoleYungerHalpern）及合作者创建了一个框架，用柯克伍德-狄拉克分布来描述量子计量实验。两位物理学家随后与多伦多大学的实验人员合作，逐步发展模型。在新的论文中，他们推导出了柯克伍德-狄拉克分布的负值度与后选择实验中从每个被探测光子上所获得的信息之间的定量关系。他们证明了，假如没有负值度——也就是说，测量到的光子属性与测不准原理无关，此时它们的柯克伍德-狄拉克分布保持正值，则后选择并无优势。但是，当存在高负值度时，信息增益就会激增：原则上只需要一个经过后选择的光子，就能测量出任何微小的相移。

　　为了测试这一想法，研究人员让一束激光穿过薄石英板，使光子的偏振角偏转，其角度取决于石英板的角度。实验目标是精确测量这一角度。物理学家使用对偏振敏感的光学组件来过滤光子，根据偏振情况，将它们送入或送离探测器。通过在不同的配置下重复这个实验，他们发现，从每个检测到的光子中获得的关于石英板角度的信息随着负值度的增加而线性增加，正如理论所预测的那样。

　　尽管使负值度最大化能让单个光子提供更多信息，但这也代表着通过后选择的光子更少。光子通过后选择的概率取决于柯克伍德-狄拉克分布中各元素之和。在一个具有高负值度的分布中，负的和正的拟概率几乎互相抵消，只有很少的光子会到达探测器。在增加每个被检测光子信息量的同时，被检测光子的数量也减少了，这种权衡保证了后选择不能增加实验中所有光子的信息总量。“我们得到的不是免费午餐，”卢普-格拉德斯坦说，“我们支付了相应的代价。”